Reseña Histórica de la Trigonometría
La historia de la trigonometría comienza con
los Babilónicos y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los
ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia
clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de
Nicea construyó una
tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo
hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda
delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia
de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el
astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos
adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos
siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él,
también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para
compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para
calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.
El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos
esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los
astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en
vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado
opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes
utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo
VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo
X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También
descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto
para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del
valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las
funciones trigonométricas
El occidente latino
se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer
trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y
astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del
siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo
XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los
fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchasfunciones matemáticas utilizando series
infinitas de potencias
de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares
para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones
trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan
un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el
siglo XVIII, el matemático Leonhard
Euler demostró que las
propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números
complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones
con exponenciales de números complejos.
Particularidades de las razones trigonométricas
Función seno
Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
Función coseno
Las características fundamentales de la función coseno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ cos x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.
cos (x) = cos (- x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π + 2·k·π y b = 0 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = 0 + 2·k·π y b = π + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
cos (x) = cos (x + 2π)
La función f(x) = cos (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
Función tangente
Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π/2 + k·π con k∈Z} .
2) Es discontinua en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
3) Su recorrido es R .
4) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
tg (- x) = - tg (x)
6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.
7) No tiene máximos ni mínimos.
8) Es periódica de periodo π .
tg (x) = tg (x + π)
La función f(x) = tg (k·x) es periódica de periodo p = π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
9) Las rectas y = π/2 + k·π con k∈Z son asíntotas verticales.
Función cotangente
Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π + k·π con k∈Z} .
2) Es discontinua en los puntos π + k·π con k∈Z .
3) Su recorrido es R .
4) Corta al eje X en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
No corta el eje Y .
5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
cotg (- x) = - cotg (x)
6) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.
7) No tiene máximos ni mínimos.
8) Es periódica de periodo π .
cotg (x) = cotg (x + π)
La función f(x) = cotg (k·x) es periódica de periodo p = π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
9) Las rectas y = k·π con k∈Z son asíntotas verticales.
10) No está acotada.
Función secante
Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π/2 + k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X.
Corta al eje Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.
sec (- x) = sec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
sec (x) = sec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = π/2 + k·π con k∈Z .
8) No está acotada.
Función cosecante
Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:
1) Su dominio es R - {k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X ni al eje Y.
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
cosec (- x) = - cosec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (- π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
cosec (x) = cosec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = k·π con k∈Z .
8) No está acotada.
GRÁFICAS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
SENO
COSENO
TANGENTEIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sin2α como (sin α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
